26 - Perché molti dadi formano una campana
07-09-2026
Probabilità e combinatoria nei giochi — Estensioni operative
MATH
Un solo dado equo ha una distribuzione semplicissima:
1 2 3 4 5 6
e ogni valore ha probabilità:
$$ 1/6 $$
Non c'è alcuna campana.
Non c'è nemmeno un valore più probabile degli altri.
Eppure, se cominciamo a sommarne molti, succede qualcosa di sorprendente.
Con due dadi compare un picco centrale.
Con tre la forma si arrotonda.
Con sei diventa già molto riconoscibile.
Con dodici la distribuzione della somma assomiglia chiaramente a una campana.
La domanda è:
Come può una campana nascere dalla somma di variabili che, prese singolarmente, sono uniformi?
Non partiamo dal teorema.
Facciamo prima costruire la forma ai conteggi.
Torniamo ai due dadi
Nel secondo articolo della serie avevamo già visto che le somme di due dadi non sono equiprobabili.
Le molteplicità sono:
2 -> 1
3 -> 2
4 -> 3
5 -> 4
6 -> 5
7 -> 6
8 -> 5
9 -> 4
10 -> 3
11 -> 2
12 -> 1
La distribuzione è simmetrica e triangolare.
Il 7 è il valore centrale e può essere ottenuto in:
6
modi su:
36
La cosa interessante è ciò che accade quando aggiungiamo un altro dado.
Tre dadi: non serve elencare 216 terne
Tre dadi hanno:
6^3
=
216
esiti ordinati equiprobabili.
Potremmo enumerarli tutti.
Ma possiamo anche riutilizzare il lavoro fatto per due dadi.
Se sappiamo in quanti modi possiamo ottenere una somma s con due dadi, allora con il terzo dado possiamo arrivare a:
$$ \begin{gathered} s+1 \ s+2 \ s+3 \ s+4 \ s+5 \ s+6 \end{gathered} $$
Quindi il nuovo conteggio è ottenuto distribuendo ogni conteggio precedente sulle sei somme successive.
Questa operazione è una convoluzione discreta.
Il nome può aspettare.
L'algoritmo è più importante.
Il primo algoritmo
Partiamo da:
somma 0
conteggio 1
Aggiungiamo un dado.
Otteniamo:
1 -> 1
2 -> 1
3 -> 1
4 -> 1
5 -> 1
6 -> 1
Aggiungiamo il secondo dado e accumuliamo i sei contributi di ogni somma.
Otteniamo il triangolo noto.
Aggiungiamo il terzo e ripetiamo.
La distribuzione esatta diventa:
3 -> 1
4 -> 3
5 -> 6
6 -> 10
7 -> 15
8 -> 21
9 -> 25
10 -> 27
11 -> 27
12 -> 25
13 -> 21
14 -> 15
15 -> 10
16 -> 6
17 -> 3
18 -> 1
I picchi sono:
10
11
con:
27/216
=
12,5%
ciascuno.
Non è più un triangolo.
La zona centrale si è già arrotondata.
Guardiamole come forme
Un dado:
$$ \begin{gathered} 1 | ████████████████████████ 1 \ 2 | ████████████████████████ 1 \ 3 | ████████████████████████ 1 \ 4 | ████████████████████████ 1 \ 5 | ████████████████████████ 1 \ 6 | ████████████████████████ 1 \end{gathered} $$
Due dadi:
2 | ████ 1
3 | ████████ 2
4 | ████████████ 3
5 | ████████████████ 4
6 | ████████████████████ 5
7 | ████████████████████████ 6
8 | ████████████████████ 5
9 | ████████████████ 4
10 | ████████████ 3
11 | ████████ 2
12 | ████ 1
Tre dadi:
3 | █ 1
4 | ███ 3
5 | █████ 6
6 | █████████ 10
7 | █████████████ 15
8 | ███████████████████ 21
9 | ██████████████████████ 25
10 | ████████████████████████ 27
11 | ████████████████████████ 27
12 | ██████████████████████ 25
13 | ███████████████████ 21
14 | █████████████ 15
15 | █████████ 10
16 | █████ 6
17 | ███ 3
18 | █ 1
Non abbiamo fatto nessuna approssimazione.
Sono conteggi esatti.
La trasformazione della forma emerge semplicemente aggiungendo variabili indipendenti.
Sei dadi
Con sei dadi lo spazio completo contiene:
6^6
=
46.656
sequenze.
La somma minima è:
6
quella massima:
36
e il valore medio è:
21
La distribuzione esatta è:
6 | █ 1
7 | █ 6
8 | █ 21
9 | █ 56
10 | █ 126
11 | █ 252
12 | ███ 456
13 | ████ 756
14 | ██████ 1161
15 | █████████ 1666
16 | ████████████ 2247
17 | ████████████████ 2856
18 | ███████████████████ 3431
19 | ██████████████████████ 3906
20 | ███████████████████████ 4221
21 | ████████████████████████ 4332
22 | ███████████████████████ 4221
23 | ██████████████████████ 3906
24 | ███████████████████ 3431
25 | ████████████████ 2856
26 | ████████████ 2247
27 | █████████ 1666
28 | ██████ 1161
29 | ████ 756
30 | ███ 456
31 | █ 252
32 | █ 126
33 | █ 56
34 | █ 21
35 | █ 6
36 | █ 1
Il centro domina chiaramente.
La somma 21 è ottenibile in:
4.332
modi, cioè con probabilità circa:
9.284979%
Dodici dadi
Con dodici dadi abbiamo:
6^12
=
2.176.782.336
sequenze possibili.
Enumerare una per una più di due miliardi di sequenze sarebbe un modo molto inefficiente per risolvere il problema.
La convoluzione dei conteggi, invece, mantiene soltanto le somme possibili.
Per dodici dadi le somme vanno da:
12
a:
72
quindi bastano appena:
61
caselle di conteggio.
La parte centrale della distribuzione è:
30 | ███ 19188950
31 | ████ 26771316
32 | ██████ 36154767
33 | ████████ 47315840
34 | ██████████ 60060936
35 | ████████████ 74005152
36 | ███████████████ 88573343
37 | █████████████████ 103027860
38 | ███████████████████ 116523342
39 | █████████████████████ 128184068
40 | ███████████████████████ 137194629
41 | ████████████████████████ 142891320
42 | ████████████████████████ 144840476
43 | ████████████████████████ 142891320
44 | ███████████████████████ 137194629
45 | █████████████████████ 128184068
46 | ███████████████████ 116523342
47 | █████████████████ 103027860
48 | ███████████████ 88573343
49 | ████████████ 74005152
50 | ██████████ 60060936
51 | ████████ 47315840
52 | ██████ 36154767
53 | ████ 26771316
54 | ███ 19188950
Il massimo è sulla somma:
42
che coincide con il valore medio.
Perché il centro vince?
Un risultato estremo come:
12
richiede:
1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1
Esiste un solo modo.
Lo stesso vale per:
72
Una somma centrale come 42, invece, può essere prodotta da un'enorme quantità di combinazioni diverse.
Le deviazioni positive di alcuni dadi possono compensare quelle negative di altri.
La somma raccoglie quindi moltissimi percorsi vicino al centro e pochissimi agli estremi.
Media di un dado
Per un dado equo:
E[X]
=
(1+2+3+4+5+6)/6
=
3,5
Quindi per la somma di n dadi:
S_n
=
X1 + X2 + ... + Xn
per linearità dell'attesa:
E[S_n]
=
3,5n
Perciò:
1 dado -> 3,5
2 dadi -> 7
3 dadi -> 10,5
6 dadi -> 21
12 dadi -> 42
Il centro della distribuzione si sposta linearmente con il numero di dadi.
La varianza di un dado
Per un dado equo:
Var(X)
=
35/12
≈
2,9167
La deviazione standard è:
σ
=
sqrt(35/12)
≈
1,7078
Se i dadi sono indipendenti, le varianze delle somme si sommano.
Quindi:
Var(S_n)
=
n · 35/12
e:
σ(S_n)
=
sqrt(n · 35/12)
Per 12 dadi:
σ
=
sqrt(35)
≈
5,9161
La dispersione assoluta cresce, quella relativa diminuisce
Questo è un passaggio importante.
La deviazione standard della somma cresce come:
sqrt(n)
quindi la distribuzione assoluta diventa più larga.
Ma la media cresce come:
$$ n $$
Se guardiamo la media per dado:
$$ S_n / n $$
la sua deviazione standard è:
sqrt(35/(12n))
e quindi diminuisce come:
1/sqrt(n)
Questa è un'altra faccia della stabilizzazione delle medie.
Non dobbiamo confondere:
somma sempre più dispersa in valori assoluti
con:
media sempre più concentrata attorno a 3,5
Entrambe le frasi sono vere.
Standardizziamo per confrontare forme diverse
Le distribuzioni di 2, 6 e 12 dadi hanno scale diverse.
Per confrontare la forma possiamo trasformare una somma s in:
z
=
(s - μ) / σ
dove:
μ = 3,5n
σ = sqrt(35n/12)
Così:
$$ z = 0 $$
indica sempre il centro,
$$ z = 1 $$
una deviazione standard sopra la media,
e:
$$ z = -1 $$
una sotto.
Dopo questa riscalatura le distribuzioni diventano sempre più simili tra loro.
Ed è qui che comincia a emergere la distribuzione normale.
Proviamo una normale senza ancora chiamare il teorema
Prendiamo per ogni n una distribuzione normale con:
stessa media
stessa varianza
della somma esatta dei dadi.
Per confrontare una probabilità discreta sulla somma intera s usiamo una correzione di continuità:
$$ P(S=s) \approx P(s-0,5 < N < s+0,5) $$
dove N è la normale corrispondente.
Non è un'identità.
È un'approssimazione.
Quanto migliora l'approssimazione?
Misuriamo, su ogni somma possibile, il massimo errore assoluto tra:
probabilità esatta
e:
probabilità normale con correzione di continuità
Otteniamo:
1 dado -> 8.537466%
2 dadi -> 1.312467%
3 dadi -> 0.734165%
6 dadi -> 0.228908%
12 dadi -> 0.081456%
L'errore non deve diminuire perfettamente secondo una formula semplice a ogni passaggio.
Ma la tendenza è evidente: sommando più dadi, la normale descrive sempre meglio la distribuzione.
La campana non rende continua la somma
Anche con dodici dadi possiamo ottenere soltanto somme intere:
12, 13, 14, ..., 72
La distribuzione esatta resta discreta.
Quando diciamo che "diventa normale" non significa che improvvisamente possano uscire somme come:
42,37
Significa che, dopo opportuna centratura e riscalatura, la forma delle probabilità discrete viene approssimata sempre meglio dalla curva normale.
Ora possiamo nominare il teorema
Quello che abbiamo appena osservato è un caso particolarmente pulito del teorema centrale del limite.
In una delle sue forme classiche, il teorema dice che la somma — opportunamente centrata e normalizzata — di molte variabili casuali indipendenti e identicamente distribuite, con media e varianza finite, tende ad avere distribuzione normale.
Per i dadi:
Xi
=
risultato del dado i
con:
E[Xi]=3,5
Var(Xi)=35/12
La variabile standardizzata è:
Z_n
=
(S_n - 3,5n)
/
sqrt(35n/12)
e, aumentando n, la sua distribuzione si avvicina alla normale standard.
Il teorema non dice che tutto è normale
Questo punto va protetto da un'eccessiva semplificazione.
Il teorema centrale del limite non dice:
qualsiasi variabile casuale è normale
e non dice:
bastano sempre pochi termini
Parla della distribuzione di somme o medie, sotto condizioni precise.
La velocità dell'approssimazione dipende dalla distribuzione di partenza.
Nel caso dei dadi il comportamento è particolarmente regolare perché:
i contributi sono indipendenti
sono limitati
hanno la stessa distribuzione
hanno varianza finita
Non confondiamolo con la legge dei grandi numeri
Le due idee sono vicine ma rispondono a domande diverse.
La legge dei grandi numeri dice, in sostanza, che:
media campionaria
→
valore atteso
quando il numero di osservazioni cresce.
Il teorema centrale del limite descrive invece la forma delle fluttuazioni attorno a quel valore.
Per i dadi:
media dei dadi
→
3,5
è il punto di vista della legge dei grandi numeri.
La quantità:
(media - 3,5)
/
errore standard
che assume progressivamente una forma normale è il punto di vista del teorema centrale del limite.
Perché questo è così utile?
Per dodici dadi possiamo ancora costruire la distribuzione esatta molto facilmente con una convoluzione.
Ma immaginiamo:
100 dadi
oppure la somma di moltissimi piccoli contributi indipendenti.
La distribuzione esatta può diventare costosa o scomoda.
Il teorema centrale del limite ci permette spesso di sostituire una distribuzione complicata con una normale definita soltanto da:
media
varianza
ottenendo una buona approssimazione.
È uno dei motivi per cui la campana normale compare così spesso in statistica e nelle misure aggregate.
Il C# costruisce la distribuzione senza enumerare 6^n sequenze
Lo standalone C# associato a questo articolo è:
SommaDadiCampana.cs
L'esempio allegato usa un dizionario:
Dictionary<int, BigInteger>
che associa:
somma -> numero di modi
Partiamo da:
0 -> 1
Per ogni nuovo dado:
foreach (var stato in corrente)
{
for (int faccia = 1;
faccia <= 6;
faccia++)
{
prossimo[stato.Key + faccia]
+= stato.Value;
}
}
Questo algoritmo calcola esattamente la distribuzione.
Per dodici dadi manipola appena 61 somme finali invece di visitare più di due miliardi di sequenze.
Un esempio di verifica
Il programma deve ottenere:
2 dadi:
somma 7 -> 6 modi
3 dadi:
somma 10 -> 27 modi
somma 11 -> 27 modi
6 dadi:
picco sulla somma 21
12 dadi:
picco sulla somma 42
e deve verificare che la somma di tutti i conteggi sia sempre:
$$ 6^n $$
Questa è una verifica esatta.
Monte Carlo non serve per costruire la campana
Potremmo simulare milioni di lanci.
Ma qui possiamo calcolare l'intera distribuzione esatta per convoluzione.
Quindi Monte Carlo non è il metodo principale.
Se lo usassimo, avrebbe soltanto il ruolo già definito nell’articolo che confronta calcolo esatto, enumerazione e Monte Carlo:
verifica empirica
non sostituzione del conteggio esatto.
Il punto operativo
Un dado singolo è uniforme.
La somma di due dadi è triangolare.
Aggiungendo altri dadi:
la massa si concentra verso il centro
gli estremi diventano relativamente rari
la forma si arrotonda
Le quantità fondamentali sono:
E[S_n] = 3,5n
Var(S_n) = 35n/12
σ(S_n) = sqrt(35n/12)
e la variabile:
Z_n
=
(S_n - 3,5n)
/
sqrt(35n/12)
si avvicina alla normale standard quando n cresce.
La cosa più importante, però, è il percorso con cui ci siamo arrivati.
Non abbiamo iniziato da una campana disegnata su un libro.
Abbiamo iniziato da:
1,2,3,4,5,6
abbiamo sommato conteggi esatti e abbiamo visto la campana emergere.
Con questo articolo si completa il percorso dedicato a quote, Bayes, streak, selezione ex post e approssimazione normale.
Le estensioni operative ci hanno portato da quote e sistemi di puntata a Bayes, collisioni, percezione del caso, selezione ex post e infine alla distribuzione normale.
Il principio editoriale resta lo stesso con cui avevamo chiuso la serie core:
prima costruire il problema e i dati che lo generano, poi dare un nome alla teoria che emerge.