Nel precedente articolo abbiamo visto che la probabilità di vincere, da sola, non basta per giudicare un gioco.

Il valore atteso aggiunge l'entità economica dei risultati e risponde alla domanda:

Quanto vale mediamente una giocata?

Ma anche il valore atteso non racconta tutto.

Due giochi possono avere esattamente la stessa media e produrre esperienze completamente diverse.

Uno può oscillare poco attorno alla media.

L'altro può perdere spesso piccole somme e, raramente, produrre risultati molto grandi.

Per descrivere questa differenza servono varianza e deviazione standard.

Due giochi con lo stesso valore atteso

Consideriamo due giochi artificiali.

Nel Gioco A:

50% -> +1 €
50% -> -1 €

Il valore atteso è:

E[A]
=
1/2·(+1)
+
1/2·(-1)
=
0 €

Nel Gioco B:

10% -> +9 €
90% -> -1 €

Anche qui:

E[B]
=
1/10·(+9)
+
9/10·(-1)
=
0 €

Entrambi hanno quindi:

$$ EV = 0 $$

e, guardando soltanto il valore atteso, sembrerebbero equivalenti.

Ma non lo sono affatto.

Nel Gioco A i risultati restano vicini alla media

La media teorica è:

0 €

e gli unici risultati possibili sono:

+1 €
-1 €

Entrambi distano dalla media esattamente:

1 €

Il gioco oscilla quindi poco.

Nel Gioco B compare un risultato molto più lontano

Anche qui la media teorica è:

0 €

ma i risultati possibili sono:

+9 €
-1 €

La perdita da -1 € è vicina alla media.

La vincita da +9 €, invece, è molto più distante.

Il valore atteso non distingue questa struttura perché le due distribuzioni si compensano entrambe fino ad avere media zero.

Ci serve quindi una misura della dispersione dei risultati attorno alla media.

Perché non basta fare la media delle distanze con segno?

Potremmo provare a calcolare:

risultato - media

e poi farne la media.

Ma per definizione:

E[X - E[X]]
=
0

Gli scostamenti positivi e negativi si compensano.

Nel Gioco A:

(+1 - 0)
+
(-1 - 0)

produce una compensazione perfetta.

Per misurare quanto i risultati siano lontani dalla media dobbiamo evitare che i segni opposti si cancellino.

Una soluzione fondamentale è elevare al quadrato gli scostamenti.

La varianza

Se una variabile casuale X ha valore atteso:

$$ \mu = E[X] $$

la varianza è:

$$ \operatorname{Var}(X) = E[(X - \mu)^2] $$

In altre parole:

1. calcoliamo quanto ogni risultato dista dalla media;
2. eleviamo quella distanza al quadrato;
3. facciamo la media ponderata usando le probabilità.

La varianza è sempre non negativa.

Più è grande, più i risultati sono dispersi attorno alla media.

Varianza del Gioco A

Per il Gioco A:

$$ \mu = 0 $$

I due scostamenti sono:

$$ \begin{gathered} +1 - 0 = +1 \ -1 - 0 = -1 \end{gathered} $$

Elevandoli al quadrato:

$$ \begin{gathered} 1^2 = 1 \ (-1)^2 = 1 \end{gathered} $$

Quindi:

Var(A)
=
1/2·1
+
1/2·1
=
1

La varianza è:

$$ 1 ,\text{€}^{2} $$

L'unità al quadrato è una conseguenza inevitabile dell'aver quadrato gli scostamenti.

Ed è proprio questo che rende la varianza meno intuitiva da interpretare direttamente.

Varianza del Gioco B

Anche il Gioco B ha:

$$ \mu = 0 $$

Gli scostamenti sono:

+9
-1

I quadrati:

81
1

La media ponderata è:

$$ \operatorname{Var}(B) = 1/10\cdot 81 + 9/10\cdot 1 $$

quindi:

Var(B)
=
8,1 + 0,9
=
9

Abbiamo quindi:

$$ \begin{gathered} \operatorname{Var}(A) = 1 ,\text{€}^{2} \ \operatorname{Var}(B) = 9 ,\text{€}^{2} \end{gathered} $$

Pur avendo lo stesso valore atteso, il secondo gioco presenta una dispersione nove volte maggiore in termini di varianza.

Media, mediana e moda non rispondono alla stessa domanda

Il Gioco B ci permette di vedere anche un'altra trappola della parola media.

Ricordiamo la distribuzione:

La media, cioè il valore atteso, è:

$$ E[B]=0,\text{€}. $$

Ma 0 € non è neppure un risultato possibile della singola giocata.

La moda, cioè il valore più probabile, è invece:

$$ -1,\text{€}, $$

perché compare con probabilità $90%$.

Anche la mediana è:

$$ -1,\text{€}, $$

perché almeno metà della massa di probabilità si trova a quel valore o sotto e almeno metà a quel valore o sopra.

Quindi per lo stesso gioco possiamo avere:

La frase “in media non perdi nulla” non significa quindi “la giocata tipica vale zero”.

Prima di interpretare un numero come rappresentativo, bisogna chiedersi quale misura di posizione stiamo usando e quale domanda vogliamo risolvere.

Fonte didattica per la distinzione media/mediana/moda: Roberto Vacca, Anche tu matematico, cap. 9. I valori del Gioco B sono quelli del nostro modello e sono ricalcolati qui.

La deviazione standard

Per riportare la misura alla stessa unità dei risultati prendiamo la radice quadrata della varianza:

σ
=
sqrt(Var(X))

Questa quantità si chiama deviazione standard.

Per il Gioco A:

σA
=
sqrt(1)
=
1 €

Per il Gioco B:

σB
=
sqrt(9)
=
3 €

Ora il confronto è più intuitivo:

La media è la stessa, ma il secondo gioco ha risultati molto più dispersi.

Una formula equivalente molto utile

La varianza può essere calcolata anche come:

$$ \operatorname{Var}(X) = E[X^{2}] - E[X]^{2} $$

Questa forma è spesso più comoda nei calcoli.

Per il Gioco B:

E[X²]
=
1/10·9²
+
9/10·(-1)²
=
9

e poiché:

$$ E[X] = 0 $$

abbiamo:

Var(X)
=
9 - 0²
=
9

Le due definizioni sono equivalenti.

La prima:

$$ E[(X-\mu)^{2}] $$

è migliore per capire cosa stiamo misurando.

La seconda:

$$ E[X^{2}]-\mu^{2} $$

è spesso più rapida da usare.

"Rischio" qui significa dispersione matematica

Nel titolo usiamo la parola "rischio" nel senso didattico di variabilità dei risultati, non come misura completa del rischio finanziario o personale.

La deviazione standard non dice, da sola:

quanto è probabile andare in rovina

oppure:

qual è la perdita massima possibile

oppure:

quanto capitale sarebbe necessario

Descrive la dispersione attorno alla media.

È un'informazione fondamentale, ma non esaurisce tutti i modi possibili di definire il rischio.

Riprendiamo la roulette dell’articolo sul valore atteso

Nel precedente articolo abbiamo confrontato due puntate nel modello di roulette europea a singolo zero.

Per una unità puntata su un singolo numero:

1/37 -> +35
36/37 -> -1

Per una puntata a quota pari:

18/37 -> +1
19/37 -> -1

Entrambe hanno lo stesso valore atteso:

μ
=
-1/37
≈
-0,027027

unità per giocata.

Ma le distribuzioni dei risultati sono molto diverse.

Varianza del numero singolo

Per il numero singolo:

$$ E[X^{2}] = 1/37\cdot 35^{2} + 36/37\cdot (-1)^{2} $$

quindi:

$$ E[X^{2}] = 1261/37 $$

Il valore atteso è:

$$ \mu = -1/37 $$

Perciò:

Var(X)
=
1261/37
-
(1/37)²

che si semplifica a:

46656/1369
≈
34,08035

La deviazione standard è:

σ
=
sqrt(46656/1369)
=
216/37
≈
5,83784

unità.

Varianza della puntata a quota pari

Per la puntata a quota pari ogni risultato vale:

+1

oppure:

-1

quindi:

$$ X^{2} = 1 $$

in entrambi i casi.

Di conseguenza:

$$ E[X^{2}] = 1 $$

e:

Var(X)
=
1
-
(1/37)²

ossia:

1368/1369
≈
0,99927

La deviazione standard è circa:

0,99963

unità.

Stesso EV, oscillazioni molto diverse

Riassumiamo il confronto senza bisogno di una tabella.

Per il numero singolo:

$$ \begin{gathered} EV \approx -0,02703 \ \sigma \approx 5,83784 \end{gathered} $$

Per la quota pari:

$$ \begin{gathered} EV \approx -0,02703 \ \sigma \approx 0,99963 \end{gathered} $$

Il costo matematico medio per unità puntata è lo stesso nel modello.

Ma la singola giocata sul numero ha una dispersione enormemente maggiore perché alterna moltissime perdite da -1 a rare vincite da +35.

Questo è precisamente il tipo di informazione che il solo valore atteso non può esprimere.

Una deviazione standard maggiore non significa un EV peggiore

È importante separare le due grandezze.

Il valore atteso misura il centro della distribuzione.

La deviazione standard misura quanto i risultati tendono a disperdersi attorno a quel centro.

Possiamo avere:

stesso EV, deviazioni standard diverse

come negli esempi appena visti.

Possiamo anche avere giochi con EV diversi e la stessa deviazione standard.

Non esiste quindi una regola generale come:

più varianza = gioco matematicamente peggiore

Sono dimensioni differenti del problema.

Anche la velocità con cui una puntata si risolve conta

Valore atteso e deviazione standard descrivono due aspetti fondamentali, ma non dicono ancora quanto rapidamente il denaro viene esposto a nuove decisioni.

Bollman mostra un esempio interessante con una variante di roulette multi-spin. Per una certa puntata, soltanto 11 numeri su 38 risolvono la giocata a ogni giro. Quindi:

$$ P(\text{risoluzione a ogni spin})=\frac{11}{38}. $$

Se gli spin sono indipendenti, il numero medio di spin necessari per arrivare alla decisione è geometrico:

$$ E[N]=\frac{1}{11/38}=\frac{38}{11}\approx3{,}45. $$

Nel suo esempio la perdita attesa per spin con la puntata ancora attiva è circa:

$$ \frac{2}{38}\approx5{,}26%. $$

Moltiplicando per il numero medio di spin fino alla risoluzione:

$$ \frac{38}{11}\cdot\frac{2}{38}

\frac{2}{11} \approx18{,}18%. $$

Le due percentuali non si contraddicono: usano denominatori temporali diversi.

5,26%  -> perdita attesa per spin
18,18% -> perdita attesa per ciclo risolto

Questo introduce un'altra quantità pratica, il turnover: quanto denaro viene effettivamente rimesso in gioco nel tempo. Due giochi con lo stesso EV per euro puntato possono produrre esperienze molto diverse se uno genera decisioni molto più rapidamente dell'altro.

Fonte di contesto: Mark Bollman, Mathematics of the Big Four Casino Table Games, esempio Riverboat Roulette nel cap. 2.

Cosa succede su più giocate indipendenti?

Supponiamo di ripetere lo stesso gioco n volte in modo indipendente e di sommare i risultati.

Se ogni giocata ha valore atteso:

μ

allora il risultato totale ha valore atteso:

nμ

Se ogni giocata ha varianza:

$$ \sigma^{2} $$

e le giocate sono indipendenti, la varianza del totale è:

$$ n\sigma^{2} $$

La deviazione standard del totale diventa quindi:

sqrt(n) · σ

La media cresce proporzionalmente a n, mentre la deviazione standard cresce con la radice quadrata di n.

Questo aiuta a capire perché, nelle medie di molte prove indipendenti, le oscillazioni relative tendano a diventare meno importanti.

Non significa però che il saldo debba avvicinarsi alla media in modo regolare o monotono.

La media per giocata diventa più stabile

Se invece del totale osserviamo la media per giocata, la sua deviazione standard è:

σ / sqrt(n)

Quindi aumentando il numero delle prove la media osservata tende a concentrarsi maggiormente attorno al valore atteso teorico.

È una delle ragioni profonde per cui le simulazioni Monte Carlo diventano più stabili quando aumentiamo il numero di esperimenti.

Ma la velocità di stabilizzazione dipende anche dalla dispersione originale.

Un gioco con deviazione standard elevata richiede normalmente più osservazioni per ottenere una media empirica altrettanto stabile.

Il calcolo in C#

Lo standalone C# associato a questo articolo è:

VarianzaDeviazioneStandard.cs

Possiamo estendere il modello dell'articolo precedente.

readonly record struct Esito(
    double Probabilita,
    double RisultatoNetto);

readonly record struct Statistiche(
    double ValoreAtteso,
    double Varianza,
    double DeviazioneStandard);

La funzione può calcolare tutte e tre le grandezze:

static Statistiche CalcolaStatistiche(
    IEnumerable<Esito> esiti)
{
    var lista = esiti.ToArray();

    double sommaProbabilita =
        lista.Sum(e => e.Probabilita);

    if (Math.Abs(sommaProbabilita - 1.0) > 1e-12)
    {
        throw new ArgumentException(
            "Le probabilità devono sommare a 1.",
            nameof(esiti));
    }

    double media =
        lista.Sum(e =>
            e.Probabilita
            * e.RisultatoNetto);

    double varianza =
        lista.Sum(e =>
        {
            double scarto =
                e.RisultatoNetto - media;

            return
                e.Probabilita
                * scarto
                * scarto;
        });

    return new Statistiche(
        media,
        varianza,
        Math.Sqrt(varianza));
}

Verifichiamo i due giochi artificiali

var giocoA = new[]
{
    new Esito(0.5, +1.0),
    new Esito(0.5, -1.0)
};

var giocoB = new[]
{
    new Esito(0.1, +9.0),
    new Esito(0.9, -1.0)
};

Statistiche a =
    CalcolaStatistiche(giocoA);

Statistiche b =
    CalcolaStatistiche(giocoB);

I risultati attesi sono:

Gioco A:
EV  = 0
Var = 1
σ   = 1

Gioco B:
EV  = 0
Var = 9
σ   = 3

Il codice rende quindi misurabile ciò che avevamo già intuito osservando i possibili risultati.

Verifichiamo la roulette

Per il numero singolo:

var numeroSingolo = new[]
{
    new Esito(1.0 / 37.0, +35.0),
    new Esito(36.0 / 37.0, -1.0)
};

Per la quota pari:

var quotaPari = new[]
{
    new Esito(18.0 / 37.0, +1.0),
    new Esito(19.0 / 37.0, -1.0)
};

Le statistiche mostrano lo stesso valore atteso ma deviazioni standard profondamente diverse.

Una simulazione di sessioni

Possiamo anche osservare la differenza tra i due giochi artificiali simulando sessioni di 100 giocate.

static double SimulaSessioneA(
    Random random,
    int giocate)
{
    double saldo = 0.0;

    for (int i = 0; i < giocate; i++)
    {
        saldo +=
            random.NextDouble() < 0.5
            ? +1.0
            : -1.0;
    }

    return saldo;
}

static double SimulaSessioneB(
    Random random,
    int giocate)
{
    double saldo = 0.0;

    for (int i = 0; i < giocate; i++)
    {
        saldo +=
            random.NextDouble() < 0.1
            ? +9.0
            : -1.0;
    }

    return saldo;
}

Entrambi hanno saldo medio teorico:

0

dopo 100 giocate.

Ma la deviazione standard teorica del saldo è:

Gioco A:
sqrt(100) · 1
=
10

mentre per il Gioco B:

sqrt(100) · 3
=
30

Quindi il secondo gioco produce sessioni molto più disperse pur avendo la stessa media.

La simulazione non dimostra queste deviazioni standard: le rende visibili empiricamente.

Il punto pratico

Il valore atteso ci dice dove si trova il centro della distribuzione dei risultati.

La varianza misura la media dei quadrati degli scostamenti da quel centro:

$$ \operatorname{Var}(X) = E[(X-E[X])^{2}] $$

La deviazione standard riporta la dispersione alla stessa unità del risultato:

σ
=
sqrt(Var(X))

Nei nostri due giochi artificiali:

$$ \begin{gathered} EV(A) = EV(B) = 0 \ \sigmaA = 1 \ \sigmaB = 3 \end{gathered} $$

e nel modello di roulette:

EV numero singolo
=
EV quota pari
=
-1/37

ma:

σ numero singolo ≈ 5,83784
σ quota pari     ≈ 0,99963

Quindi due giochi con la stessa convenienza matematica media possono avere oscillazioni completamente diverse.

Nel prossimo articolo cambieremo prospettiva ancora una volta.

Non chiederemo più quanti successi otteniamo in un numero fissato di prove, ma:

Quante prove devo aspettare prima che arrivi il primo successo?

Partiremo dal primo 6 di un dado e arriveremo alla distribuzione geometrica, chiarendo anche perché una lunga sequenza senza successo non rende automaticamente il successo successivo "più dovuto".