Finora abbiamo quasi sempre chiesto:

Quanto è probabile che accada un certo evento?

Ma nei giochi con premi e perdite questa domanda non basta.

Un gioco può farci vincere molto spesso e, allo stesso tempo, essere matematicamente sfavorevole.

Oppure può farci perdere nella maggior parte delle partite ma offrire un premio abbastanza grande da rendere positivo il risultato medio.

Per capire la differenza dobbiamo introdurre il valore atteso.

Un gioco in cui si vince due volte su tre

Consideriamo questo gioco artificiale con un dado equo.

Se esce:

1, 2, 3 o 4

il nostro risultato netto è:

+1 €

Se esce:

5 o 6

il risultato netto è:

-3 €

La probabilità di vincere è:

4/6
=
2/3
≈
66,67%

Quindi vinciamo, in media, più spesso di quanto perdiamo.

Potremmo essere tentati di concludere che il gioco sia conveniente.

Ma manca una parte essenziale dell'informazione: quanto vinciamo e quanto perdiamo.

Immaginiamo 6 partite perfettamente rappresentative

Per intuire il problema, immaginiamo un blocco ideale di sei partite nel quale compaiono una volta tutte le facce del dado.

Avremmo quattro vincite da:

+1 €

e due perdite da:

-3 €

Il risultato complessivo sarebbe:

4 · (+1 €)
+
2 · (-3 €)
=
4 €
-
6 €
=
-2 €

Dividendo per sei partite:

$$ -2 ,\text{€} / 6 = -1/3 ,\text{€} $$

cioè circa:

-0,3333 €

per partita.

Il gioco fa vincere il 66,67% delle volte, ma il risultato medio è negativo.

Il valore atteso

Il valore atteso combina ogni possibile risultato con la sua probabilità.

Una variabile casuale è una regola che associa un numero a ciascun esito dell'esperimento. Nel nostro gioco possiamo definire, per esempio, X = profitto netto della partita: una volta noto l'esito, il valore di X è determinato.

Se la variabile casuale X può assumere valori:

x1, x2, ..., xn

con probabilità:

p1, p2, ..., pn

abbiamo una distribuzione discreta: i possibili valori possono essere elencati e a ciascuno associamo una probabilità. La regola $p_X(x)=P(X=x)$ viene chiamata funzione di probabilità, o PMF (probability mass function). Le probabilità devono essere non negative e sommare a 1.

Il valore atteso è:

E[X]
=
x1·p1
+
x2·p2
+
...
+
xn·pn

In forma compatta:

E[X]
=
Σ xi·pi

Nel nostro gioco:

P(vincita) = 4/6
risultato vincita = +1 €

P(perdita) = 2/6
risultato perdita = -3 €

quindi:

$$ E[X] = 4/6 \cdot (+1 ,\text{€}) + 2/6 \cdot (-3 ,\text{€}) $$

ossia:

E[X]
=
4/6
-
6/6
=
-2/6
=
-1/3 €

Il valore atteso è quindi:

-0,3333 € per partita

"Per partita" è fondamentale

Il valore atteso non dice che ogni partita perderà esattamente:

0,3333 €

In una singola partita possiamo soltanto:

vincere 1 €

oppure:

perdere 3 €

Il valore atteso descrive la media teorica del risultato su un numero molto grande di ripetizioni indipendenti dello stesso gioco.

È quindi un valore medio del modello, non una previsione del prossimo esito.

Più occasioni non significa automaticamente più valore atteso

Un esempio tratto da Catan mostra che il valore atteso serve anche quando non stiamo parlando di denaro.

In una versione semplificata del problema, un insediamento produce una risorsa quando la somma di due dadi coincide con uno dei numeri adiacenti. Con due dadi equi:

somma 2  -> 1 modo
somma 3  -> 2 modi
somma 5  -> 4 modi
somma 6  -> 5 modi
somma 12 -> 1 modo

Consideriamo due posizioni.

La prima è adiacente a tre numeri:

$$ 2,;3,;12. $$

La produzione media per lancio è:

$$ \frac1{36}+\frac2{36}+\frac1{36}

\frac4{36}

\frac19 \approx0{,}1111. $$

La seconda è adiacente soltanto a due numeri:

$$ 5,;6. $$

Ma produce in media:

$$ \frac4{36}+\frac5{36}

\frac9{36}

\frac14 =0{,}25. $$

Quindi:

$$ \boxed{ \text{più caselle produttive} \not\Rightarrow \text{maggiore produzione attesa} } $$

Il numero delle occasioni non basta: dobbiamo pesare ogni occasione con la sua probabilità.

E c'è un secondo insegnamento. Anche sapere che una posizione produce mediamente più carte non decide da solo quale sia “migliore”: nel gioco contano anche quali risorse arrivano, che cosa vogliamo costruire, la scarsità e gli scambi disponibili. Un modello può calcolare correttamente una quantità e tuttavia non contenere ancora tutta la funzione obiettivo della decisione.

Fonte di contesto didattico: Jathan Austin, Brian G. Kronenthal e Susanna Molitoris Miller, “Off to a Good Start: Using Mathematics to Evaluate Settlement Locations in Catan”, in Mindy Capaldi (ed.), Teaching Mathematics Through Games, cap. 15.

Un gioco che perde spesso ma ha valore atteso positivo

Rovesciamo ora la situazione.

Lanciamo ancora un dado equo.

Se esce 6:

+6 €

altrimenti:

-1 €

La probabilità di vincere è soltanto:

1/6
≈
16,67%

Quindi perdiamo cinque volte su sei.

Ma il valore atteso è:

$$ E[X] = 1/6 \cdot (+6 ,\text{€}) + 5/6 \cdot (-1 ,\text{€}) $$

cioè:

E[X]
=
6/6
-
5/6
=
1/6 €

circa:

+0,1667 € per partita

Questo secondo gioco ha una probabilità di vincita molto più bassa del primo, ma un valore atteso positivo.

La frequenza delle vittorie, da sola, non ci dice quindi se un gioco sia matematicamente favorevole.

Probabilità e payoff sono due informazioni diverse

Per giudicare economicamente un gioco dobbiamo sapere almeno:

con quale probabilità accade ogni risultato

e:

quanto vale economicamente quel risultato

Una probabilità elevata associata a una piccola vincita può essere più che compensata da una perdita rara ma grande.

Allo stesso modo, una vincita rara può compensare molte piccole perdite se il premio è sufficientemente alto.

Il valore atteso è lo strumento che combina queste due dimensioni.

Risultato netto, non denaro restituito

Nei giochi con una puntata è utile lavorare con il profitto netto.

Supponiamo di puntare:

1 €

e, in caso di vittoria, ricevere indietro la puntata originale più una vincita di:

35 €

Il risultato economico netto della vincita è:

+35 €

non:

+36 €

perché uno dei 36 euro restituiti è semplicemente il nostro euro iniziale.

In caso di perdita, il risultato netto è:

-1 €

Questa convenzione rende il valore atteso molto più leggibile.

Un modello di roulette europea a singolo zero

Consideriamo ora un modello matematico standard di roulette a singolo zero con:

37 caselle equiprobabili

numerate:

0, 1, 2, ..., 36

e assumiamo che una puntata piena su un singolo numero produca:

+35 unità nette

se il numero esce, e:

-1 unità

altrimenti.

Non stiamo descrivendo strategie di gioco: usiamo semplicemente queste regole come modello probabilistico.

Puntare su un singolo numero

Se scegliamo un numero specifico, la probabilità di vincere è:

$$ 1/37 $$

e quella di perdere:

$$ 36/37 $$

Il valore atteso per una puntata di una unità è:

$$ E[X] = 1/37 \cdot (+35) + 36/37 \cdot (-1) $$

quindi:

E[X]
=
35/37
-
36/37
=
-1/37

ossia circa:

-0,027027

unità per giocata.

In percentuale rispetto alla puntata:

-2,7027%

Cosa significa -2,7027%?

Significa che, nel modello matematico e sul lunghissimo periodo, il risultato medio del giocatore è:

-0,027027

unità per ogni unità puntata.

Se la puntata unitaria fosse:

1 €

il valore atteso sarebbe:

-0,027027 €

per giocata.

Se fosse:

10 €

la scala dei risultati sarebbe dieci volte maggiore e il valore atteso diventerebbe circa:

-0,27027 €

per giocata.

Non significa che il giocatore perderà quella cifra a ogni giro. Le singole giocate producono risultati molto più grandi e discreti.

Il valore atteso descrive la media teorica.

Il vantaggio del banco

Quando il valore atteso del giocatore, espresso come frazione della puntata, è negativo, il suo opposto viene comunemente interpretato come vantaggio matematico del banco nel modello considerato.

Da qui in avanti useremo a volte anche la sigla EV, dall'inglese expected value, come abbreviazione di valore atteso. Qui:

EV giocatore
=
-1/37
≈
-2,7027%

quindi il margine teorico corrispondente è:

1/37
≈
2,7027%

La presenza dello zero è ciò che rompe l'equilibrio che avremmo con 36 soli numeri e un pagamento netto di 35 a 1.

House advantage: lo stesso EV espresso come percentuale della puntata

Nei giochi da casinò è comune normalizzare il valore atteso rispetto alla somma rischiata. Se una puntata di importo s ha valore atteso del giocatore E[X], definiamo il house advantage o house edge come:

$$ HA=-\frac{E[X]}{s}. $$

Il segno meno serve perché un valore atteso negativo per il giocatore diventi un margine positivo per il banco.

Se puntiamo 1 € e:

$$ E[X]=-0{,}027027\ldots, $$

allora:

$$ HA\approx2{,}7027%. $$

Questa percentuale va sempre letta insieme alla dimensione della puntata. Mark Bollman fa notare un confronto utile: una puntata principale da 100 € con house edge dello 0,5% e una side bet da 2 € con house edge del 25% hanno entrambe perdita attesa:

$$ 100\cdot0{,}005=0{,}50,€, $$

$$ 2\cdot0{,}25=0{,}50,€. $$

Le due giocate sono molto diverse, ma in quel singolo confronto producono lo stesso valore atteso monetario per il banco.

Quindi dobbiamo distinguere:

house edge percentuale
!=
perdita attesa in euro

La prima normalizza per la puntata; la seconda dipende anche da quanto denaro stiamo effettivamente esponendo.

Fonte di contesto e terminologia: Mark Bollman, Mathematics of the Big Four Casino Table Games, cap. 1 e §2.6 sulle side bet.

Anche una puntata quasi 50/50 può avere lo stesso valore atteso

Consideriamo ora, nello stesso modello, una puntata a quota pari che vinca su 18 numeri e perda sugli altri 19 risultati, includendo lo zero tra le perdite.

Il risultato netto è:

+1

in caso di vittoria e:

-1

in caso di perdita.

Quindi:

$$ E[X] = 18/37 \cdot (+1) + 19/37 \cdot (-1) $$

ossia:

E[X]
=
18/37
-
19/37
=
-1/37

Ancora:

-2,7027%

La probabilità di vincita è molto diversa rispetto alla puntata su un singolo numero:

$$ 18/37 \approx 48,65% $$

contro:

$$ 1/37 \approx 2,70% $$

ma il valore atteso per unità puntata è lo stesso nel modello.

Questo è un esempio molto chiaro del motivo per cui probabilità di vincita e convenienza matematica non sono sinonimi.

Due giochi con lo stesso valore atteso possono comportarsi diversamente

La puntata su un numero e la puntata quasi 50/50 appena considerate hanno lo stesso valore atteso per unità.

Ma le loro singole distribuzioni dei risultati sono molto diverse.

Una produce raramente una grande vincita.

L'altra produce frequentemente piccoli risultati di +1 o -1.

Il valore atteso, da solo, non descrive questa differenza.

Per farlo ci serviranno nuovi strumenti:

varianza

e:

deviazione standard

che saranno il tema del prossimo articolo.

Il valore atteso in C#

Lo standalone C# associato a questo articolo è:

ValoreAtteso.cs

Possiamo rappresentare un risultato possibile con la sua probabilità e il suo profitto netto.

readonly record struct Esito(
    decimal Probabilita,
    decimal RisultatoNetto);

In questo esempio usiamo decimal anche per la probabilità. Il risultato economico è già espresso in decimal, quindi mantenere lo stesso tipo evita conversioni double → decimal all'interno del calcolo del valore atteso.

Poi calcolare:

static decimal ValoreAtteso(
    IEnumerable<Esito> esiti)
{
    decimal sommaProbabilita = 0m;
    decimal valoreAtteso = 0m;

    foreach (Esito esito in esiti)
    {
        if (esito.Probabilita < 0m ||
            esito.Probabilita > 1m)
        {
            throw new ArgumentOutOfRangeException(
                nameof(esiti));
        }

        sommaProbabilita +=
            esito.Probabilita;

        valoreAtteso +=
            esito.Probabilita
            * esito.RisultatoNetto;
    }

    if (Math.Abs(
        sommaProbabilita - 1m) > 0.000000001m)
    {
        throw new ArgumentException(
            "Le probabilità devono sommare a 1.",
            nameof(esiti));
    }

    return valoreAtteso;
}

Per il primo gioco:

var gioco = new[]
{
    new Esito(4m / 6m, +1m),
    new Esito(2m / 6m, -3m)
};

decimal ev =
    ValoreAtteso(gioco);

Console.WriteLine(ev);

otteniamo circa:

-0,333333

unità per partita.

Calcoliamo la roulette

Per la puntata su un numero:

var numeroSingolo = new[]
{
    new Esito(1m / 37m, +35m),
    new Esito(36m / 37m, -1m)
};

decimal ev =
    ValoreAtteso(numeroSingolo);

Console.WriteLine(ev);

Il risultato è circa:

-0,027027

unità per unità puntata.

Per la puntata a quota pari:

var quotaPari = new[]
{
    new Esito(18m / 37m, +1m),
    new Esito(19m / 37m, -1m)
};

otteniamo lo stesso valore atteso.

Una simulazione del risultato medio

Possiamo anche osservare empiricamente come varia la media su molte giocate.

Per la puntata su un singolo numero:

static double SimulaNumeroSingolo(
    int giocate,
    int seed = 42)
{
    if (giocate <= 0)
        throw new ArgumentOutOfRangeException(nameof(giocate));

    var random = new Random(seed);
    double saldo = 0.0;

    for (int i = 0; i < giocate; i++)
    {
        int numero =
            random.Next(0, 37);

        saldo +=
            numero == 17
            ? 35.0
            : -1.0;
    }

    return saldo / giocate;
}

Possiamo confrontare:

Console.WriteLine(
    SimulaNumeroSingolo(1_000));

Console.WriteLine(
    SimulaNumeroSingolo(100_000));

Console.WriteLine(
    SimulaNumeroSingolo(1_000_000));

Le medie osservate possono oscillare parecchio, soprattutto con pochi tentativi, perché una singola vincita vale +35.

Con molti esperimenti dovrebbero tendere verso:

-1/37
≈
-0,027027

senza però coincidere necessariamente con quel valore in una specifica simulazione finita.

Valore atteso negativo non significa perdere sempre

Una puntata con valore atteso negativo può vincere oggi, domani o per molte giocate consecutive.

Il valore atteso non è una previsione deterministica del percorso del saldo.

Allo stesso modo, un gioco con valore atteso positivo può attraversare lunghe sequenze di perdite.

La probabilità descrive l'incertezza dei singoli eventi; il valore atteso descrive la loro media ponderata.

Per capire quanto possono essere ampie le oscillazioni attorno a quella media dobbiamo studiare la dispersione dei risultati.

Il punto pratico

La probabilità di vincere risponde a:

Quanto spesso ottengo un risultato classificato come vittoria?

Il valore atteso risponde invece a:

Quanto vale mediamente una giocata, tenendo conto sia delle probabilità sia dell'entità di ogni risultato?

La formula è:

E[X]
=
Σ xi·P(X=xi)

Nel nostro primo gioco artificiale:

P(vittoria)
=
66,67%

ma:

$$ E[X] = -1/3 ,\text{€} $$

per partita.

Nel modello di roulette a singolo zero con puntata unitaria su un singolo numero:

E[X]
=
1/37·35
+
36/37·(-1)
=
-1/37
≈
-2,7027%

La conclusione matematica è quindi semplice: vincere spesso non implica avere un valore atteso favorevole.

Ma il valore atteso non racconta ancora tutta la storia.

Due giochi possono avere lo stesso valore atteso e produrre esperienze completamente diverse nel breve periodo.

Nel prossimo articolo confronteremo proprio due giochi con la stessa media ma con oscillazioni differenti, introducendo varianza e deviazione standard.